L'espérance mathématique, et mesurer les bonnes choses

Je suis tombé sur cette image:

Le consensus des commentateurs pointait vers l'irrationalité du public: 100 % de chance d'avoir 50 000 € donne une espérance de gain de 50 000 €, 50 % de chance d'avoir 1 M€ donne une espérance de gain de 500 000 € - 10 fois plus. Certains pointaient à la distinction entre hommes et femmes dans leur réponse (impliquant que les femmes sont plus irrationnelles ?).

Je me suis demandé ce que je choisirais.

L'un des outils du mouvement de l'Altruisme Efficace est l'espérance mathématique - pour comparer des interventions avec des effets attendus et des probabilités différentes, on multiplie l'un par l'autre et on peut comparer deux chiffres. Par exemple, si j'estime qu'une manifestation a 10 % de chance de faire bouger le gouvernement pour allouer 100 millions d'euros de plus à la lutte contre le changement climatique, et que j'estime que lancer une campagne de dons avec des célébrités a 50 % de chances de ramener 2 millions[[Ordre de grandeur : le Téléthon rapporte environ 90 millions d'euros]], alors l'un a une espérance de 10 millions et l'autre de 1 million, et j'ai intérêt à pousser pour la manifestation.

(Ne prenez pas cet exemple extrêmement simple comme représentatif d'une réflexion complète qu'on trouve dans l'Altruisme Efficace ! Il est juste illustratif d'un outil simple qui peut être utile, et qui pour un travail sérieux s'intégrerait dans une représentation bien plus complète. Les gens de la communauté que j'ai pu rencontrer adorent couper les cheveux en quatre - ou plus - et se demanderaient quels sont les effets de second ordre[[L'une des approches rend-elle les futures interventions plus faciles ou plus difficiles, demande-t-elle un investissement plus ou moins important des participants, prend-elle la place d'autre chose d'utile...]], quelle chance ai-je moi-même d'avoir un impact sur le fait que ça ait lieu, est-ce que l'argent dégagé est aussi bien utilisé dans les deux cas, à quel point mes pourcentages sont-ils discutables, etc.)

En considérant la question de 50 000 € vs 50 % * 1 M€, j'étais surpris de voir que ma réponse n'était pas immédiate.

Le résultat du calcul est évident - 50 k€ sont moins que 500 k€. Et en laissant les deux options mûrir quelques moments, je pense que je prendrais effectivement l'espérance maximale. En sentant ma réticence initiale, j'étais certain qu'en bougeant les chiffres je pourrais trouver une situation qui me ferait choisir l'espérance mathématique moindre. Et en effet : si ça n'est plus 50 k€ mais 400 k€ par exemple, je prendrais les 400 k€, "perdant" 100k€ espérés.

Alors, est-ce qu'on devrait mettre cet outil au rebus ? Ou bien est-ce moi qui rejoins finalement le rang des irrationnels ?

Quand je regarde ce qu'il se joue en moi, je vois que mon objectif n'est pas réellement de maximiser mon gain. J'ai la chance de bien aimer mon travail et ma vie actuelle, et 50 000 € tombant du ciel seraient une excellente nouvelle, mais ne transformeraient pas complètement mon quotidien. 500 000 €, si.

(A l'origine la phrase ci dessus disait "Un million, si." Mais le chiffre n'a pas de sens décorrélé de sa probabilité d'arriver - un million changerait ma vie, mais s'il a 0.0001 %[[Chance de gagner au Loto en France : 0.000005%]] de chance d'arriver, je prends les 50 k€. Donc je pense qu'il est plus juste d'utiliser 500 k€.[[Peut-on pousser les chiffres pour casser cette intuition ? 0.1 % de chance de gagner 500M € donne aussi 500 k€ d'espérance - je suis indécis sur ce que je ferais dans ce cas, je ne m'attends pas à gagner mais ça n'est pas impossible, et la somme est tellement grosse... Le fait que je sente cette tension sur cet équilibre précis de chiffres valide plutôt l'outil de l'espérance pour moi !]])

Donc dans la question d'origine, je choisis bien la plus grande espérance attendue. Pourquoi alors est-ce que je cesse de suivre cette règle pour prendre 100 % de chances de recevoir 400 k€ ?

Parce que mon objectif n'est pas de maximiser mon gain, mais de recevoir une somme qui changerait ma vie. Et 400 k€ comme un million changeraient tous les deux ma vie. Le choix n'est donc pas entre 400 k€ ou 50 % de chance d'avoir un million - il est entre 100 % de chance qu'un événement qui change ma vie se produise, et 50 % de chance qu'il se produise.

Si l'espérance échoue à me donner la "bonne" réponse, ça n'est pas que l'outil ne fonctionne pas. C'est qu'on ne l'utilise pas pour mesurer les bonnes choses - ce que je veux mesurer n'est pas la valeur monétaire, mais l'intensité du "changement de vie" que ça m'apporte.

Et on peut ainsi retomber sur nos pattes : 400 k€ et 1 M€ m'apporteraient environ la même quantité de Changement de Vie (CV), soit 1 unité de CV, l'un espère 1 CV et l'autre 0.5 CV, mon choix redevient rationnel. Le bonheur apporté par l'argent n'étant pas linéaire, si on me propose 50 % de chance pour 10 M€ que j'estime un peu au hasard à 2 CV, j'hésite à nouveau (espérance : 1 CV).

(En réalité, je pense que je prends quand même les 400 k€. Mais si c'est un milliard ? A 50%, je prends le milliard. Il y a donc un point de bascule quelque part et la question est de bien calibrer l'unité de Changement de Vie - l'argent a plus de valeur quand on a moins.)

Ces chiffres sont plus flous, parce qu'ils sont moins facilement quantifiables que des sommes d'argent, et la marge d'erreur sur leur valeur est trop grande pour qu'on puisse comparer des espérances proches. Mais celles-ci restent utiles si la différence est assez grande pour sortir des marges d'erreur.

L'espérance mathématique est un excellent outil - quand on mesure les bonnes choses.